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数学分析定理论文 《数学》中数形结合”思想的培养

导读:本文是一篇关于数学分析定理论文范文,可作为相关选题参考,和写作参考文献。

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院,贵州 贵阳 550001)

摘 要:“数形结合”是将“数”与“形”的信息相互结合,相互转化的一种思想方法.应用数形结合思想能使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而有助于我们把握数学问题的本质.文中结合具体的实例从“概念教学”,“定理教学”,“证明过程”等几方面分别阐述了《数学分析》教学中对“数形结合”思想的培养.

关键词:数学分析;概念;定理;证明

中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1673-260X(2013)07-0011-02

《数学分析》是具有很强逻辑性和严格分析论证性的一门学科,因而在学习过程中总让初学者们望而生畏,而事实上《数学分析》中的许多内容都是从现实世界中抽象而来的,各章节中,从极限、连续、导数、微分到各种积分概念、定理、公式的证明等方方面面,数形结合的思想无处不在.若能在《数学分析》课程的学习或教学中能充分应用“数形结合”,将会使蒙上神秘外衣的数学原形毕露.

1.在概念教学中培养“数形结合”思想

例1 极限概念中的数形结合

如果直接从数量的角度去分析概念,似乎很难去理解其本质的意义,但是如果能从其几何角度出发,做出下面的图形:

例2 凸(凹)函数的定义

对于上面的概念若直接从函数式所表示的数量关系很难理解凸函数到底本质是什么样的函数,但是如果能结合“形”,则能很直观的理解概念的本质.在讲授这一概念时,可以先结合实际直观的画出凸(凹)的直观认识,简要给出下面图形:

事实上,数学分析的很多概念中都有很清晰的“形”,例如导数的概念,定积分和重积分的概念,一致连续性,多元函数的连续性等都具有很好的几何性,因此在课程的概念教学中若能引导学生去挖掘出课程中很多定义所潜在的几何直观形象,从而将数学概念通过形式化的数学语言表述出来,这样一方面能帮助学生思考和理解抽象概念,同时能使干巴巴的数学语言符号活起来,从而提高学生学习的兴趣.

2.在定理教学中培养数形结合

数学分析课程中很多定理的证明具有很强的逻辑性和严密性,学生在学习中经常感到无所适从,不知道如何去分析,因而若能在定理证明中充分挖掘出定理本身具有的“形”,无疑给学生的学习能带来很好的帮助.

例3[2] “罗尔中值定理”,“拉格朗日中值定理”

这两个定理是数学分析课程中极其重要的定理,其证明过程若直接给学生讲解,通常很难以理解,但是若在教学中能结合下面两图形,则对定理的内容及证明思路则能柳暗花明.《数学分析》课程中很多重要的定理叙述或证明都有很强的直观形象,在教学中教师若能结合“数形结合”的思想去分析问题,无疑对学生的学习和能力的培养都有很重要的作用.

3.在数学证明中培养数形结合

在数学分析的学习中,证明题是一个难点,教师在讲解及学生的学习中普遍都会感觉难以下手,常常会感觉不知如何去分析,事实上,在很多的证明题中,数形结合经常能帮助我们得到一些有用的信息.

例4[1] 已知函数f(x)在圆周上有定义并且连续,证明:可以找到一直径的两个端点a,b使得f(a)等于f(b)

分析:从这题本身要证得结论看似乎不知如何下手,但是如果将其图形画出来,则显然能得到解决本题的方法.

总之,《数学分析》课程中的许多重要概念,性质,证明等问题都具有一定的“形”,因此如果能根据不同问题的特点将“数”与“形”结合起来,这样不仅能使《数学分析》的学习得以简化,更能启迪学生的“数形结合”思想的培养.因此,在《数学分析》课程的教学及学习中,教师若能引导学生多多探索,努力挖掘课程中所潜在的“形”,运用数形结合,对课程的学习将起到极其重要的作用.

参考文献:

〔1〕华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1991.3.

〔2〕明清河.数学分析的思想与方法[M].济南:山东大学出版社,2004.7.

〔3〕朱匀华.徽积分入门指导与思考方法[M].广州:中山大学出版社,1987.

数学分析七大定理:6.1拉格朗日定理和函数的单调性(数学分析)

〔4〕袁继红.浅析构造思想在高等数学中的应用[J].数学的实践与认识,1997,27(4):367-371.

〔5〕张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京:北京大学出版社,1999.

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