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切线导数论文 导数概念:借鉴数学史,融合数形

导读:本文是一篇切线导数论文范文,可作为选题参考。

孙冲

(浙江省桐乡市凤鸣高级中学,314500)

摘 要:针对依据教材教学导数概念时发现的导数与切线“两张皮”的现象,借鉴数学史重构导数概念教学,侧重于训练学生的理解能力与形、数之间的转化能力:首先,让学生回顾圆的切线定义,并判断该定义是否适用于圆锥曲线,引导学生对切线的定义作出改进;然后,让学生判断改进后的定义是否适用于任意曲线,并借助《几何原本》中的有关命题,引导学生得出切线的新定义;最后,从形到数,引导学生得出导数的定义.课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果.

关键词:HPM 导数概念 切线定义 教学设计 反馈

导数概念是人教A版高中数学教材选修2-2第一章第一节的内容,教材选择气球膨胀率和高台跳水两个问题情境来引出平均变化率,然后围绕这两个例子来说明瞬时变化率,由此得出导数概念.笔者在多年的教学实践中发现这样一个现象:学生在学完导数后,能够利用导数来解决函数单调性和最值问题,然而,遇到切线问题时往往会回到初中所学的圆的切线定义上来——似乎切线与导数是“两张皮”,不在同一个认知结构内,也没有关系.已有的研究也表明,很多学生尽管学过新的切线定义,但是他们所持的关于切线的意象与定义是分离的,对于切线有许多错误理解.那么,如何引入切线概念,可以促使学生更好地理解导数的几何意义呢?我们希望运用数学史来解决这一问题.

一、历史材料及其运用

历史上,人们对切线的认识经历了从静态到动态的过程.

古希腊数学家对切线的认识停留在静态阶段.欧几里得(Euclid,约公元前330~前275)在《几何原本》中将圆的切线定义为“与圆相遇但延长后不与圆相交的直线”,即将圆的切线视为与圆只有一个公共点且落在圆外的直线.阿波罗尼斯(Apollonius,公元前262~前190)将圆锥曲线的切线看作与圆锥曲线只有一个公共点且落在圆锥曲线之外的直线.阿基米德(Archimeds,公元前287~前212)将螺线的切线看作与螺线只有一个公共点且落在螺线之外的直线.

17世纪,法国数学家费马(P. de Fennat,1601~1665)和笛卡儿(R Descartes,1596~1690)对切线的研究开启了切线历史的新纪元,切线作为割线之极限位置的思想逐渐成为数学家的共识——而且对于切线的研究进一步促进了导数概念的诞生.17世纪末,法国数学家洛必达(G_ L’Hospital,1661~1704)在《无穷小分析》中将曲线的切线定义为曲线的内接“无穷边形”一边的延长线,则集中反映了这种共识.

据此,我们通过重构切线的历史来设计导数概念的教学.首先,让学生回顾圆的切线定义,并判断该定义是否适用于圆锥曲线,引导学生对切线的定义作出改进;然后,让学生判断改进后的定义是否适用于任意曲线,并借助《几何原本》中的有关命题,引导学生得出切线的新定义;最后,从形到数,引导学生得出导数的定义.

二、教学设计与实施

(一)背景和意义概览师请同学们先白行阅读“章引言”,并思考:

你认为微积分能够帮助解决哪些问题?

生 从“章引言”中可知,利用微积分,可以求速度、加速度和路程,求曲线的切线,求函数的最大值与最小值,求长度、面积、体积和重心等.

师 上述问题都是我们平时学习中需要解决的重要问题,可见微积分的用途十分广泛.微积分可以分为微分和积分两部分,微分的核心内容是导数.其中,求速度、切线等都需要用导数解决,而求面积、体积等则需要用积分解决.现在,我们先学习导数.(稍停)那么,导数是如何产生的呢?这要从切线问题人手.

[设计目的:分析章引言,能起到提纲挈领、总览全局的作用;从历史的角度出发,带领学生了解导数概念的起源以及广泛应用,也能引起学生学习该内容的兴趣.]

(二)切线定义探索

(教师让学生三人一组,根据自己已有的认识,讨论圆和抛物线上一点处的切线的定义,并用自己的语言写下来.当场按组发放问卷,统计结果,得到表1.)

师 圆的切线定义①、②、③与历史上数学家所给出的定义如出一辙.抛物线的切线定义①也在数学史上占有一席之地,②曾是古希腊数学家所给出的定义.

(学生哗然,纷纷向给出抛物线的切线定义②的那两组同学投去羡慕的目光.)

师 不要太兴奋.抛物线的切线定义②是否适用于所有曲线的切线呢?上述五种定义中哪一种更适合一般曲线的切线呢?

生 抛物线的切线定义②好像更贴近一般曲线的切线定义,因为所有的圆锥曲线都能够按照这一定义来作切线.

师 很好.(课件出示图1、图2)现在,我们来看这样几幅图像中的直线.可以明确地告诉你们,它们也是这些曲线的切线.

生 老师,如果这些直线也是切线,那么它们和曲线的公共点不止一个,这怎么解释?

师 不错.历史上数学家和你一样,也经历了这样的认知冲突.我们以前认识的切线与曲线只有一个公共点,但是范围仅仅局限于我们学过的圆、椭圆等曲线.通过了解上述几幅图像的切线,我们需要更正之前的认识了:曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.再回顾刚才同学们所给出的切线的那些定义,它们还适用于上面图中的切线吗?

生 (异口同声)不适用.

师 那么,究竟应该如何定义曲线的切线呢?古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中将圆的切线定义为“与圆相遇但延长后不与圆相交的直线”,并给出以下命题:“从圆的直径的端点作垂直于直径的直线,该直线落在圆外,且在该线与圆周之间不可能插入第二条直线.”(课件出示图3)我们来看图,PQ是圆O的直径,PT⊥ PQ,即PT是圆O的切线.在圆O上另取一点Q1,则PQ1是圆O的一条割线.在PQ1和PT之间依次插入直线PQ2,PQ3,…,PQn,这些直线会是切线吗?

生 都不是.

师 这就是说,若在劣弧PQ1上依次取越来越接近点P的点Q2,Q3,…,Qn,则这些点与点P的连线都是割线.但是,随着点Q越来越接近点P,PQn越来越接近切线PT.当Q与P无限接近时,PQn与PT的位置关系会是怎样的?

生 (部分)重合.

(部分学生露出怀疑的眼神.)

师 很好.此时,圆O在点P处的切线我们已经画出.回顾刚才的过程,我们可以总结如下:先作过点P的割线,然后让割线的另外一个公共点逐渐向点P逼近,进而得到切线.谁能精确描述一下?生点Qn逐渐逼近点P时,割线PQn不断趋近确定的位置,这个确定的位置上的直线PT称为圆在点P处的切线,这就是一般曲线的切线定义.我们可以按照此定义再次验证函数y= x3与y=sinx图像中的直线是否为切线.

(教师引导学生采用“逐渐逼近”的思想对图1、图2中的切线进行验证:学生自行阐述,教师适时纠正.)

师 现在,不妨总结一下:要过曲线上一定点作该曲线的切线,需要怎样的步骤?

生 第一步,过定点作曲线的割线;第二步,取割线的另外一个公共点,让其逐渐逼近定点,最终确定的位置即为切线的位置.

[设计目的:通过学生熟知的圆、抛物线的切线,引出学生不太熟悉的三次函数图像、三角函数图像的切线,激发学生的认知冲突.结合图形直观,巧妙地展现数学家的逼近思想,进一步在凸显“形”的重要性的基础上引起学生的学习兴趣.由此,为从“数”的角度引出导数概念做铺垫,以达到“形数结合”的目的,给学生深刻的认识.]

(三)导数概念生成

师 刚才,我们通过研究切线的定义,从“形”的角度很形象地理解了切线概念,但是,“逼近”这种做法好像人脑难以企及,刚才部分同学的眼神告诉了我,好像还欠缺了点什么,使他们不太理解.

生 是的.

师 好的.我们刚才是从几何的角度来理解切线的概念,这是定性分析,那么,还可以通过什么来更严密地解释这个过程呢?

生 应该是从代数的角度来推导.

师 说得没错.接下来,我们就从“数”的角度来说明.(稍停)要求切线,需要知道哪几个要素?

生 已知一个点和斜率.

师 显然,已知点就是定点,那么,斜率如何算呢?割线的斜率与切线的斜率又存在怎样的联系呢?

利用导数求切线方程:2012年高考新课标数学(文)第13题_中_复合函数求导_对数函数导数_定点切线方程

(学生思考.)

师 我们仍然借助于“形”,采用上述“逼近”方法进行分析计算.(出示图4)将上图中点P附近的曲线放在直角坐标系中,

师 代数上的极限就是——

生 几何上的逼近.

[设计目的:引导学生从“形”的直观认识抽象出“数”的理论分析,得到导数的概念,旨在凸显“数”的重要性,渗透数形结合思想,并且提高学生严密的数学逻辑推理能力.导数概念生成后,通过带有暗示性的提问,帮助学生快速地梳理了有关概念之间的等价关系,强化了学生的理解.]

三、学生反馈

本节课的授课对象是我校实验班学生,共43人,数学基础较好,有一定的自学能力和浓厚的学习兴趣.课后,笔者立即对全班学生进行了问卷调查.

问卷共设计了四个问题,分别是:(1)通过数学史来学习切线的定义,对你了解切线的定义是否有帮助?(2)借鉴《几何原本》中圆的切线定义来获得切线,对你理解切线的概念是否有帮助?(3)对于本节课中蕴含的“逐渐逼近”思想,你的印象是否深刻?(4)对于按照数学史的发展规律进行学习,你有何感想?

对于第一个问题,97. 67%的学生回答了“是”.对于第二三两个问题,所有学生都回答了“是”.对于第四个问题,学生的回答归纳一下有五种:(1)循序渐进,有利于对该知识点的充分理解;(2)能够更形象地了解切线,激发学习数学的热情;(3)数学并不神秘,自己的学习也可以这样进行;(4)认识需要反复,学习也需要反复,才具有上升性、无限性;(5)很有趣,更有吸引力,不肤浅,理解更透彻.

在后续“关于由切线引入导数概念的教学安排”的问卷中,90%以上的学生认为由切线引入导数的过程很自然,尤其是借助《几何原本》中圆的切线定义引出切线这一过程中“逐渐逼近”的数学思想能帮助他们对导数的概念理解更透彻.而一个月后的回访问卷调查结果显示,仍有60%以上的学生表示对这节课印象最深的便是由切线引出导数.

可见,对于引入数学史的教学,绝大部分学生乐于接受,并受到了很大的启发,留下了深刻的印象,激发了学习的兴趣.当然,少数数学功底较弱、数学思维不够完备的学生在接受和理解方面还是存在一定的问题.

四、结语

上述案例中,笔者针对以前导数概念教学中发现的导数与切线“两张皮”的现象,大胆借鉴数学史重构导数概念教学,更侧重于训练学生的理解能力与形、数之间的转化能力.课堂上,让学生跟随历史的脚步,通过数学本身的例子进行探究,循序渐进地得出导数的概念,追寻其中蕴含的数学思想,有因有果,自然而然;在浓厚的探究氛围中,学生学得痛快、彻底,体会了数学的本质.

如果说数学概念和公式是数学机体的骨干,那么,数学史则让其变得有血有肉、充满生机.当学生再次回想相关的数学概念或公式时,会因为其中所蕴含的数学文化和数学思想,而不再觉得空洞洞、干巴巴了.

当然,上述案例也存在一些不足.比如,“逐渐逼近”的思想怎样才能让学生很自然地自己感受到,而不是由教师给出;另外,从几何角度的切线引入虽然不失为一种好方法,但是导数的物理意义(瞬时速度)却没有得到呈现,那么,如何使两者有机结合,让学生更全面也更合理地理解导数.这些将是笔者继续思考与探索的课题.

本文系本刊连载的汪晓勤教授团队开发的HPM案例之一,也系人民教育出版社课程与教材研究所“十二五”规划课题“数学史融入高中数学教材研究”(批准号:KC2014010)的教学案例之一.

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